ЕГЭ по математике №14 C2

ЕГЭ по математике №14 C2 с решением и ответами

ЕГЭ по математике №14 C2 с решением и ответами

Ребро куба равно корень из 6.
Найдите расстояние между диагональю куба и диагональю любой из его граней.

Решение №14 C2 ЕГЭ по математике.

Ответ: 1.

Задание С2:

Правильная треугольная пирамида.

Условие:

DABC-правильная треугольная пирамида. Строна основания три корня из трёх. Боковое ребро 5, MC медиана треугольника ABC. Найти площадь треугольника MDC.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде основание - равносторонний треугольник. Значит, MC - высота и биссектриса.
Значит
MC = BC*sin(60 градусов) = 3*sqrt(3)*sqrt(3)/2 = 9/2.
DM = sqrt(DB^2-BM^2) sqrt(5^2-(3*sqrt(3)/2)^2) = sqrt(73)/2.
DC = 5;

А дальше - например, по формуле Герона:
Полупериметр p = (MC+DM+DC)/2

S = sqrt(p*(p-MC)*(p-DM)*(p-DC))

Но без калькулятора такую штуку считать - с ума сойдешь.
Можно иначе.

Пусть DP - высота пирамиды. Точка P - точка пересечения медиан/биссектрис/высот треугольника ABC, и мы знаем, что она делит их в отношении 2:1.
То есть, PC = MC*2/3 = 9/2*2/3 = 3.

Значит, высота пирамиды
DP = sqrt(DC^2-PC^2) = 4

Площадь треугольника MDC равна MC*DP/2 = 9/2*4/2 = 9.

Ответ:

Задание №14 C2

Площадь боковой поверхности треугольной призмы.

Условие:

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ACB (угол C=90), AC=5, BC=12. Через сторону BC и вершину A1 проведена плоскость; угол A1BC=60. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

Для начала, найдем AB по теореме Пифагора. Выходит 13.

Дальше едем. Раз призма прямая, а в основании прямоугольный треугольник, то ребро BC перпендикулярно плоскости грани AA1C1C. А значит, и любой прямой, принадлежащей этой плоскости.
То есть BC перпендикулярно A1C, а значит, треугольник BCA1 - прямоугольный.
Его гипотенуза A1B равна BC/cos(60) = 24.

Дальше берем треугольник BAA1, который тоже прямоугольный (раз призма прямая), а значит, AA1 можно найти по теореме упомянутого выше Пифагора:

AA1 = sqrt(24^2-13^2) = sqrt(407)
Некрасивое какое-то число.

Ну, а площадь боковой поверхности будет равна периметру основания, умноженному на высоту:
(5+12+13)*sqrt(407) = 30 корней из 407

Ответ:

30*sqrt(407)

Задание №14 C2

В правильной шестиугольной призме ADCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 5, найдите расстояние от точки A до прямой C₁D₁.

Решение.

Соединим точку A с точкой C₁ и докажем, что AC₁ - расстояние от A до прямой C₁D₁.

Так как треугольник ABC равнобедренный с углом В, равным 120 градусам, то ?BCA=30^o, а значит, ?АCD=90^o.

Так как C₁C плоскости АВС, то АС перпендикулярно C₁С.

Так как АС перпендикулярно C₁C и СD, то АС перпендикулярно плоскости СC₁D₁D, и, значит, и прямой C₁D₁, поэтому АС перпендикулярно прямой C₁D₁. Так как АС является проекцией АС₁, то и АС₁ перпедикулярно C₁D₁.

Из треугольника ABC по теореме косинусов находим АС² = АВ² + ВС² - 2АВ•ВС•cos120² = 25 + 25 - 2•5•5•(-0,5) = 50 + 25 = 75, AC = 5v3.

Из треугольника ACC₁ по теореме пифагорав находим АС₁² = АС² + СC₁² = 75 + 25 =100, АС₁ = 10.

Ответ: 10.

Часть 2 ЕГЭ по математике: №13/ C1 №14/ C2 №15/ C3 №16/ C4 №18/ C5 №19/ C6

Ещё задания части 2: №13/ C1 №14/ C2 №15/ C3 №16/ C4 №18/ C5 №19/ C6