Школьный портал

С3 ЕГЭ по математике



С3   ЕГЭ   ПО   МАТЕМАТИКЕ    РЕШЕНИЕ




С 3   ЕГЭ   по   математике.

С3 ЕГЭ по математике.

Решить неравенство:

(log(5^(x+8))(14))/(log(5^(x+8))(x^2-25)) ≥ (log2(x^2+9x+14))/(log2(x^2-25))

Решение:

ОДЗ: система

1. x^2-25 > 0
2. x^2+9x+14 > 0
3. 5^(x+8) ≠ 1
4. x^2-25 ≠ 1 (в противном случае логарифмы в знаменателях обращаются в ноль)

1. (-бесконечность; -5) U (5; +бесконечность)
2. (-бесконечность; -7) U (-2; +бесконечность)
3. x ≠ -8
4. x ≠ -sqrt(26), x ≠ sqrt(26)

Всё вместе:

(-бесконечность; -8) U (-8; -7) U (5;sqrt(26)) U (sqrt(26); +бесконечность)

Теперь решаем само неравенство.
Слева и справа в числителе и в знаменателе у логарифмов одинаковые основания, поэтому неравенство можно записать:

log(x^2-25)(14) >= log(x^2-25)(x^2+9x+14)

а) Если x^2-25 > 1, т.е. |x| > sqrt(26):
14 ≥ x^2+9x+14
x(x+9) ≤ 0
x принадлежит отрезку [-9;0], что в сочетании условием |x| > sqrt(26) даёт полуинтервал [-9; -sqrt(26))

б) Если 0 < x^2-25 < 1, т.е. 5 < |x| < sqrt(26):
14 ≤ x^2+9x+14
x(x+9) ≥ 0
x принадлежит (-бесконечность; -9] и [0; +бесконечность], что в сочетании условием 5 < |x| < sqrt(26) даёт интервал (5; sqrt(26))

Объединяем ОДЗ с обоими решениями, получаем

[-9;-8) U (-8;-7) U (5;sqrt(26))

Ответ:

[-9;-8) U (-8;-7) U (5;sqrt(26))


С3 ЕГЭ по математике.

Условие:

Найдите все значения x, при каждом из которых выражения
3*(x^2)*log_3(2+3x) - 6*x*log_(1/3)((2+3x)^(1/3)) и
3*x^2 + 2x
принимают равные значения.

Решение:

Для начала разберёмся с ОДЗ:
2+3x > 0, x > -2/3

Теперь упростим первое выражение:
3*(x^2)*log_3(2+3x) - 6*x*(-1)*(1/3)*log_3(2+3x) =
= (3*x^2 + 2x)*log_3(2+3x)

Приравняем первое и второе выражения:
(3*x^2 + 2x) = (3*x^2 + 2x)*log_3(2+3x)
x*(2+3x)*(1-log_3(2+3x)) = 0

x = 0, либо
2+3x = 0, x = -2/3 (это не входит в ОДЗ), либо
log_3(2+3x) = 1
2+3x = 3
x = 1/3

Ответ:

0 и 1/3


С3 ЕГЭ по математике.

Найдите число решений системы уравнений:

{(xy)1,5 + 1 = xy0,5 + yx0,5
y2 + 100 = 10y(2x + 2-x).

Решение.

Перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую часть(xy)1,5 + 1 - xy0,5 - yx0,5 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители, группировав слагаемые следующим образом:
((xy)1,5 - xy0,5) - (yx0,5 - 1) = 0;
xy0,5(yx0,5 - 1) - (yx0,5 - 1) = 0;
(yx0,5 - 1)(xy0,5 - 1) = 0;
yx0,5 - 1 = 0 или xy0,5 - 1 = 0;
yx0,5 = 1 или xy0,5 = 1; xy2 = 1 или yx2 = 1, при условии, что х и у - неотрицательны.

Теперь займёмся вторым уравнением данной системы. Оно сводится к квадратному относительно переменной у. y2 - 10y(2x + 2-x) + 100 = 0. D = 25(2x + 2-x)2 - 100 = 25(22x + 2 + 2-2x - 4) = 25(22x - 2 + 2-2x) = (2x - 2-x)2.
у = 5(2x + 2-x) ± 5((2x + 2-x);
y = 10?2x или y = 10?2-x.

Данная система уравнений свелась к решению четырех, более простых систем: {xy2 = 1 и y = 10?2x} или {xy2 = 1 и y = 10?2-x} или {yx2 = 1 и y = 10?2x} или {yx2 = 1 и y = 10?2-x}.
Нам не нужны точные решения этих систем, а нужно только определить их общее количество. Такая задача называется качественной.

Рассмотрим первую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10?2x}. Подставим значение у из второго уравнения в первое уравнение. 100х?х22x = 1 или 100х?22x - 1 = 0.

Существует два метода определения количества решений уравнения: аналитический и графический. Мы будем использовать тот или иной способ в зависимости от конкретной ситуации. Левая часть уравнения 100х?22x - 1 = 0 является возрастающей функцией f(x) = 100х?22x - 1 при х > 0. Значит, это уравнение либо не имеет корней, либо имеет один единственный корень.

Очевидно, что при х = 0 f(x) < 0, а при х = 1 f(x) > 0. Значит, на промежутке (0,000001; 1) уравнение имеет корень, и, он единственный. Итак, мы установили, что первая система имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь вторую систему уравнений {xy2 = 1 и y = 10?2-x}. Точно также, подставив значение у из второго уравнения в первое уравнение получим 100х?2-2x = 1 или 100х?2-2x - 1 = 0. Здесь применение передыдущего способа проблематично. Попытаемся применить графический метод. построить график функции f(х) = 100х?2-2x - 1, наверное можно, но трудно и долго. Поэтому постараемся преобразовать уравнение 100х?2-2x - 1 = 0 так, чтобы нужные графики можно было построить легко и быстро. 100х?2-2x = 1, 100х = 22x. Попытаемся построить графики функций у = 100х и у = 22x. Получим примерно такую картинку . Из полученной картинки трудно быстро установить одна или две общие точки у этих кривых. Нужны дополнительные исследования, а времени для этого на экзамене крайне мало.

Выход из возникшей ситуации таков: ещё раз преобразуем уравнение 100х = 22x (х > 0), например, так 10vх = 2x. Построим графики функций у = 10vх и у = 2x. Получим следующую картинку. Даже эскизный рисунок по точкам показывает, что эти графики имеют две общие точки.

Итак, вторая система уравнений имеет два решения.

Исследуем третью систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10?2x}. Как и раньше, подствив значение у из второго уравнения получим 10x2?2x = 1. Как и в первом случае это уравнение имеет единственное решение (убедитесь в этом самостоятельно).

И, наконец, рассмотрим последнюю систему уравнений {yx2 = 1 и y = 10?2-x}, из который следует, что 10x2?2-x = 1, или 10x2 = 2x. Графики функций у = 10x2 и у = 2x изображены на третьем рисунке. Как видно, это уравнение имеет один корень (отрицательный корень нам не подходит, так как х > 0).

Таким образом, данная в исходном задании система уравнений имеет 1 + 2 + 1 +1 = 5 решений.

Ответ: 5.




Решение С3 ЕГЭ по математике.





Часть С ЕГЭ по математике:      С1     С2     С3     С4     С5     С6

Ещё задания части С:     С1     С2     С3      С4     С5     С6


    ЕГЭ 2017 по математике:

   Базовый и профильный уровень
   ЕГЭ по математике в формате pdf:

Математика базовый уровень
Математика профильный уровень

   Базовый и профильный уровень
   ЕГЭ по математике на сайте:

Базовый уровень по математике
Профильный уровень по математике

Примеры решения заданий части В и С
егэ по математике прошлых лет:

Часть В:     Задания     Решения
Задачи с решением части с:
     С1     С2     С3     С4     С5     С6







С1 ЕГЭ математике. Задание с1 с решением ЕГЭ по математике

ЕГЭ, ГИА по математике, физике, информатике, химии, биологии с решением и ответами. Подготовка к ЕГЭ и ГИА по математике, физике, информатике, химии, биологии.
Варианты ЕГЭ, гиа, демо-версии. Реальные варианты олимпиад для 1 - 11 классов с подробным решением задач и ответами. Тесты. Рефераты.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^