ЕГЭ портал

Варианты решений заданий C3 ЕГЭ по математике



Варианты решений заданий C3 ЕГЭ по математике




Варианты решений заданий C3 ЕГЭ по математике


Решение заданий С3 по математике

Задание С3    Решить неравенство:


log2((7−x2−3)*(7^−x2+16−1))+log2((7−x2−3)/(7^−x2+16−1)) > log2(77-x2-2)2

Решение:



На самом деле, это неравенство значительно проще, чем кажется на первый взгляд.

Разберёмся с ОДЗ:
1. Выражение под первым знаком логарифма должно быть больше нуля:
(7^(-(x^2))-3)*(7^(-(x^2)+16)-1) > 0

-x^2 всегда меньше или равно нулю, следовательно,
7^(-x^2) <= 1, следовательно,
7^(-x^2)-3 <= -2 < 0

Значит, чтобы первое условие на ОДЗ выполнялось, нужно, чтобы
7^(-(x^2)+16)-1 < 0
7^(-(x^2)+16) < 1 = 7^0
-(x^2)+16 < 0
x^2 > 16
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)

2. Выражение под вторым знаком логарифма должно быть больше нуля. Но там результат будет такой же, как и в первом пункте, поскольку в скобках стоят одинаковые выражения.

3. Выражение под третьим знаком логарифма должно быть больше нуля.
(7^(7-x^2)-2)^2 > 0
Это неравенство всегда справедливо, за исключением случая, когда
7^(7-x^2)-2 = 0
7^(7-x^2) = 7^(log_7(2))
7-x^2 = log_7(2)
x^2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))

Оценим, чему примерно равно sqrt(7-log_7(x)).
1/3 = log_8(2) < log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4) < sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3

То есть, условие x не равно (+-)sqrt(7-log_7(x)) уже лишнее, поскольку в п. (1) мы уже выбросили из ОДЗ включающий эти точки интервал.

Итак, ещё раз ОДЗ:
x принадлежит (-бесконечность; -4) U (4, +бесконечность)

4. Теперь, пользуясь свойствами логарифма, исходное неравенство можно преобразовать вот так:
log_2((7^(-x^2)-3)^2) > log_2((7^(7-x^2)-2)^2)

log_2(x) - функция возрастающая, поэтому избавляемся от логарифма, не меняя знак:
(7^(-x^2)-3)^2 > (7^(7-x^2)-2)^2

Оценим сверху и снизу выражения (7^(-x^2)-3)^2 и (7^(7-x^2)-2)^2 , принимая во внимание ОДЗ:

-x^2 < -16
0 < 7^(-x^2) < 1
-3 < 7^(-x^2)-3 < -2
4 < (7^(-x^2)-3)^2 < 9

-x^2 < -16
0 < 7^(7-x^2) < 1
-2 < 7^(-x^2)-2 < -1
1 < (7^(-x^2)-3)^2 < 4

Значит, неравенство выполняется для любых x, принадлежащих ОДЗ.

Ответ:

(−∞; -4) ∪ (4; +∞)





Задание C3 Логарифмическое неравенство

Условие:

Решить неравенство:
log|x|(√(9-х2) - x -1) ≥ 1

Решение:

Сперва найдём ОДЗ.

1.1) Условие на основание логарифма:
|x| > 0 => x <> 0 (здесь и дальше "<>" значит "не равно")
1.2) Условие на основание логарифма:
|x| <> 1 => x <> -1, x <> 1
1.3) Условие на выражение под знаком квадратного корня:
9-x^2 >= 0 => (3-x)(3+x) >= 0 => x принадлежит [-3;3]
1.4) Условие на выражение под знаком логарифма:
sqrt(9-x^2)-x-1 > 0
sqrt(9-x^2) > x+1 =>
1.4.1) либо (x+1) < 0 => x < -1
1.4.2) либо система
{9-x^2 > (x+1)^2, x >= -1}
Решая первое неравенство системы, получим
x принадлежит ( (-1-sqrt(17))/2; (-1+sqrt(17))/2 ).
Поскольку sqrt(17) - это примерно sqrt(16)=4, то
(-1-sqrt(17))/2 примерно равно -2.5
(-1+sqrt(17))/2 примерно равно 1.5
Итак, в (1.4.2) у нас получается:
x принадлежит [ -1;-1+sqrt(17))/2 )

Объединяя все условия из (1.3) и (1.4), имеем:
x принадлежит [ -3 ; (sqrt(17)-1)/2 )

Объединив это с (1.1) и (1.2), имеем полное ОДЗ:
[-3; -1) U (-1;0) U (0;1) U (1; (sqrt(17)-1)/2)

Теперь, собственно, само неравенство.
В зависимости от значения x у нас будет тут четыре случая:

2.1) x < -1 => abs(x) = -x > 1
log_(-x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при потенциировании неравенство знак не меняет:

sqrt(9-x^2)-x-1 >= -x
9-x^2 >= 1
x^2 <= 8
x принадлежит [-2sqrt(2); 2sqrt(2)]
(sqrt(2) - это примерно 1.4, следовательно, 2sqrt(2) = примерно 2.8)
Итого в (2.1) имеем:
x принадлежит [-2sqrt(2);-1)

2.2) -1 < x < 0 => abs(x) = -x < 1
log_(-x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании неравенство меняет знак:
sqrt(9-x^2)-x-1 <= -x
x^2 >= 8
x принадлежит (-бесконечность; -2sqrt(2)] U [2sqrt(2); бесконечность).
С условием -1 < x < 0 это не пересекается, значит, в случае (2.2) решений нет.

2.3) 0 < x < 1 => abs(x) = x < 1
log_(x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании неравенство меняет знак:
sqrt(9-x^2)-x-1 <= x
В общем, решается это примерно также, как (1.4). Получится
2(sqrt(11)-1)/5 <= x <= 3

Тут нам важно понять, 2(sqrt(11)-1)/5 больше или меньше 1.
Решение в случае (2.3) будет только если
2(sqrt(11)-1)/5 < 1 => sqrt(11) < 3.5.
3.5^2 = 12.25 > 11, то есть в случае (2.3) мы всё-таки будем иметь решение
[2(sqrt(11)-1)/5; 1)

2.4) x > 1 => abs(x) = x > 1
log_(x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при потенциировании неравенство знак не меняет:
sqrt(9-x^2)-x-1 >= x
Такое же неравенство, но с обратным знаком, мы уже только что решили, и выяснили, что больший корень меньше единицы. Следовательно, тут решений нет.

Итак, из (2.1) и (2.3) имеем:
x принадлежит [-2sqrt(2);-1) U [2(sqrt(11)-1)/5; 1)

А вот, для наглядности, как это всё выглядит:




Часть 2 ЕГЭ по математике:      №13/ C1     №14/ C2     №15/ C3     №16/ C4     №18/ C5     №19/ C6

Ещё задания части 2:     №13/ C1     №14/ C2     №15/ C3      №16/ C4     №18/ C5     №19/ C6


Математика ЕГЭ

Базовый уровень по математике
Профильный уровень по математике
Базовый уровень ЕГЭ (формат PDF)
Профильный уровень ЕГЭ (формат PDF)

Тренировочная работа по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19




Варианты решений заданий C3 ЕГЭ по математике

ЕГЭ, ОГЭ по математике, физике, информатике, химии, биологии с решением и ответами. Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике, физике, информатике, химии, биологии.
Варианты ЕГЭ, ОГЭ, демо-версии. Реальные варианты олимпиад для 1 - 11 классов с подробным решением задач и ответами. Тесты. Рефераты.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^