Сложные задачи по физике
Сложные задачи по физике с решением
Сложные задачи по физике с решением
Задача № 1.
Условие:
Расстояние между двумя городами почтовый голубь пролетает при отсутствии ветра за t = 60 мин., а при встречном ветре за время t2 = 75 мин.
За какое время t1 голубь преодолеет это расстояние при попутном ветре?
Решение:
При попутном ветре, очевидно, относительно Земли скорость голубя равна сумме скорости ветра υ и скорости голубя в отсутствие ветра υ1,
а расcтояние S между городами будет равно:
S = (υ1+ υ)t1. (1)
При встречном ветре это же расстояние S птица преодолеет с относительной скоростью, равной разности скоростей голубя и ветра и, соответственно,
S = (υ1- υ)t2. (2)
В отсутствие ветра расстояние между городами голубь пролетит за время
t = S/υ1. (3) (Конечно, (3) можно было записать в том же виде как и два предыдущих соотношения, т.е. S = υ1t.)
Задача физически решена: мы имеем 3 уравнения с тремя неизвестными, остается только их решить. Решать можно, что называется, в любом порядке.
Приравняв (1) и (2), т.е. исключив расстояние S, мы свяжем скорости υ и υ1:
(υ1+ υ)t1 = (υ1- υ)t2.
Раскрываем скобки, вновь группируя, получаем:
υ1t1+ υt1 - υ1t2+ υt2 = 0, или υ(t1+ t2) = υ1(t2- t1).
Откуда
υ = υ1(t2- t1)/(t1+ t2). (4)
Далее можно подставить (4) в (2):
S = (υ1- υ1(t2- t1)/(t1+ t2))t2 = υ12t1t2/(t1+ t2). (5)
Осталось подставить (5) в (3) и выразить искомое t1:
t = 2t1t2/(t1+ t2).
Отсюда окончательно: t1= t2t/(2t2- t). (6)
Вычисляем: t1= 75 мин ∙ 60 мин /(2∙75 мин - 60 мин) = 50 мин.
Ответ: 50 мин.
Это стандартное физико-математическое решение, в котором важна как физическая, так и математическая подготовка школьника. Решение оказалось не совсем простым.
Решение этой задачи с физической точки зрения:
Посмотрим внимательно на условие задачи. Очевидно, оно симметрично относительно времени t1 полета птицы при попутном ветре и времени полета t2 при полном отсутствии ветра. Значит, формула-ответ для времени t в отсутствие ветра также будет симметрична относительно t1 и t2. Это во-первых. Во-вторых, наша расчетная формула (для t) должна удовлетворять правилу равенства единиц измерения в ее левой и правой частях, т.е. справа в формуле должны получаться единицы времени. Это позволяет нам записать следующую комбинацию из двух времен t1 и t2 : Задача № 2. Условие: Тело свободно падает с высоты h без начальной скорости. Решение: Составим уравнение для пути S за последнюю секунду как разность расстояний, Задача № 3. Условие: Два шарика подвешены рядом на тонких нерастяжимых нитях равной длины. Решение: Несмотря на то, что задача из части В, учитывая невысокий уровень знаний значительной части абитуриентов, можно попытаться и в этом случае "сходу" записать результирующую формулу. Порассуждаем. Подобные задачи надежнее решать математически. Решение 2: Даже при таком условии задачи ясно, что столкновение шариков было неупругим, а значит, надо быть внимательным при использовании закона сохранения энергии. Записать равенство потенциальной энергии шаров в начальном Ep1= m1g∙(l - cos α) и конечном состоянии Ep2= (m1+ m2)h после их поднятия на высоту h конечно нельзя! Удар неупругий, часть механической энергии налетающего шара превратилось во внутреннюю, приводящую к нагреванию обоих шаров. Но ничего не мешает применить закон сохранения энергии для ОДНОГО, 1-го шарика:
t = t1+ t2 (1), или t = t1∙ t2/(t1 + t2). (2)
Обе формулы симметричны относительно перестановок t1 и t2 , но 1-я явно противоречит здравому смыслу: время в отсутствие ветра не может быть больше, чем по ветру t1! Значит, похоже правильной формулой является 2-я... Но, возможно, мы что-то еще не учли? Проверим формулу (2) на осмысленность. Положим t1= t2 - это возможно при полете птицы в отсутствие ветра. Здравый смысл говорит о том, что в этом случае все три t имеют один и тот же смысл, т.е. будут равны: t = t1= t2. Но в этом случае формула (2) дает результат t1/2 или t2/2. Но это легко исправить добавлением в числитель коэффициента 2. Тогда окончательно получаем расетную формулу с точностью теперь уже до коэффициента:
t = 2t1∙ t2/(t1 + t2). (*)
Ну, а уж отсюда вы можете легко найти либо t1, либо t2 - в зависимости от того, что требуется в условии задачи.
За последнюю секунду оно проходит расстояние S = 25 м.
Найти h.
пройденных телом при свободном падении без начальной скорости (υо= 0 ) за время t и за время t - ∆t (по условию ∆t= 1 с):
S = gt2/2 - g(t - ∆t)2/2. (1)
Из этого уравнения находим t :
2S = gt2- g(t - ∆t)2, 2S/g = t2- t2+ 2t∆t - ∆t2 => t = S/g∆t+ ∆t/2.
t = 25 м/10 м/с2 ∙1 с + 1/2 с = 3 с.
И подставляем его в формулу h = gt2/2. (2)
Вычислим:
h = 10 м/с2∙(3 с)2/2 = 45 м.
Ответ: 45 м.
Решение 2.
Запишем соответствующее уравнение для последнего участка пути:
s = υ1∆t + g(∆t)2/2 и найдем из него скорость υ1 в конце 1-го участка движения. Далее найдем расстояние, пройденное на 1-ом участке (до последней секунды):
s1= υ12/2g и полное расстояние - высоту h:
h = s1+ s.
Убедитесь, что получается такой же ответ.
Масса первого шарика m1= 36г, второго - m2= 18г.
Первый шар отводят на угол α = 60о с вертикалью и отпускают.
После столкновения шарики поднялись на максимальную высоту h = 20 см.
Найти длину нити.
Интуитивно понимаем, что высота подъема шариков зависит от соотношения их масс (недаром же они заданы в условии!). Но каково это соотношение? Оно должно быть таким, чтобы единицы массы сокращались, т.е. должно быть отношение(!) масс обоих шариков: таким (m1+ m2)/m1 ― ? таким (m1+ m2)/m2 ― ? таким m1 /(m1+ m2) ― ? или таким m2 /(m1+ m2) ― ? 
На это легко ответить. Если 2-й шарик будет отсутствовать (m2 = 0), то, очевидно, столкновение нет, и 1-й шарик поднимется на ту же высоту, на которую он был отведен, т.е. h = l/2. Но для 2-й и 4-ой формул ЭТО НЕВОЗМОЖНО! Более того, высота подъема в этом случае равна половине длины нити, т.к. они образуют треугольник с углом 90о- α = 90о- 60о= 30о. А это выполняется для 1-й и 3-й формул. Из них надо предпочесть именно 1-ю, т.к. в случае равенства теперь уже m1= 0 длина нити в 3-й формуле обращается в 0, но подвес (длины нитей) шариков всегда имеет ненулевую длину независимо от их масс! Рассматривая граничные переходы, т.е. устремляю значение той или иной величины к нулю, мы выяснили, что при m2= 0 высота h = l/2, т.е. l = 2h. Посему добавление к формуле множителя 2h позволяет соблюсти правило единиц измерений и, не решая задачу, записать конечную формулу:
l = 2h∙ (m1+ m2)/m1
m1g∙(l - cos α) = m1υ12/2 , (1) где υ1 - скорость 1-го шарика в момент столкновения со 2-м.
υ12= 2g∙(l - cos α) = gl (2), т.к. cos 60o= 1/2.
Знание скорости υ1 позволит найти общую скорость υ совместно движущихся шаров после столкновения на основании закона сохранения импульса.
m1υ1= (m1+ m2)υ. Отсюда
υ = m1υ1/(m1+ m2). (3)
Снова воспользуемся законом сохранения механической энергии (ЗСМЭ) уже для системы шаров, которые движутся после столкновения как одно целое:
(m1+ m2)υ2/2= (m1+ m2)gh.
Отсюда h = υ2/2g. (4)
C учетом (3) и (2) перепишем (4):
h = ( m1/(m1+ m2))2∙(υ12/2g) = ( m1/(m1+ m2))2∙ ( l/2).
Для этого варианта искомой является длина нити l. Из последнего выражения окончательно находим:
l = 2h ( (m1+ m2)/m1)2. (5)
Вычисляем:
l = 2∙20 см ∙ ((36 г + 18 г)/36 г)2 = 90 см.
Ответ: 90 см.