Олимпиадные задания по математике 11 класс

Олимпиадные задания по математике 11 класс


Олимпиадные задания по математике 11 класс.



Олимпиада по математике 11 класс


Олимпиадные    задания   по   математике.         11   класс.


1.

В игре участвуют два игрока А и Б.
Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена
x3 + ax2 + bx + c.
Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов.
Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента.
Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0
имеет три различных (действительных) решения?



2.

Пусть
f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2
(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0)



3.

Числа a , b и c таковы , что
a2 + b2 + c2 = 1.
Докажите, что
a4 + b4 + c4 + 2(ab2 + bc2 + ca2)2 Ј 1.
При каких a, b и c неравенство превращается в равенство?



4.

Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P.
Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L.
Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы.



5.

На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют не более одного раза за день.
Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T.
Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов (или 6 гульденов можно продать за 1 динар).
Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров.
Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров.
Каково максимальное значение этого числа?



6.

Известно, что n-вершинник содержит внутри себя многогранник M с центром симметрии в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k.
Найдите наименьшее значение k, если
а) n = 4, b) n = 5



7.

Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из различных попарно взаимно простых натуральных чисел.



8.

Докажите, что плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот многогранник сферы.



9.

В треугольнике ABC угол A равен a, а угол B равен 2a.
Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую,
содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M и N.
Найдите углы треугольника MAN.




Олимпиадные задания

Олимпиадные задания по математике

Олимпиада по математике 6 класс
Олимпиада по математике 7 класс
Олимпиада по математике 8 класс
Олимпиада по математике 9 класс
Олимпиада по математике 10 класс
Олимпиада по математике 11 класс



Будь в числе первых!
Открытая группа:
Решение школьных олимпиад.
Решаем, обсуждаем, спорим, помогаем.





Олимпиадные задания по математике 11 класс

Реальные варианты олимпиад для 6 - 11 классов с подробным решением задач и развернутыми ответами.


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика
^Наверх^