Решение заданий С5 по математике

Варианты решений заданий C5 ЕГЭ по математике

Решение заданий С5 по математике

Условие:

Найдите все значения a, при каждом из которых оба числа 3sina+5 и 9cos2a-36sina-18 являются решением неравенства в числителе (25x-3x^2+18)*sqrt(x-1), в знаменателе log(модуль(x-7))-1 осн.4 >=0

Решение:

Ну, насколько я понял, неравенство вот такое:
(25x-3x^2+18)*sqrt(x-1)/(log_4(|x-7|)-1) >= 0,
т.е. в знаменателе (логарифм по основанию 4 от |x-7|)-1.

1. Итак, для начала решим неравенство.
1.1. В числителе есть корень, значит, x>= 1
1.2. Квадратный двучлен в числителе раскладывается на -3(x+2/3)(x-9)
1.3. Разберемся со знаменателем.
1.3.1. Заметим, что x не может быть равен 7
1.3.2. Решим неравенство log_4(|x-7|)-1>0
|x-7| > 4 => x < 3 или x > 11
Поскольку мы решаем неравенство, и для нас важен только знак, то можно считать, что знаменатель ведет себя точно также, как (x-3)(x-11) (но только не надо забывать, что точку x=7 нужно "выколоть").

1.4. Итак, наше неравенство можно представить как систему:
x>=1
x не равен 7
-3(x+2/3)(x-9)/((x-3)(x-11)) >=0

Методом интервалов получим решение:
x принадлежит [1;3) и [9;11)

2. Теперь посмотрим на выражение 3sin(a)+5.
Поскольку значения синуса лежат внутри отрезка [-1;1], то это выражение может принимать значения в пределах отрезка [2;8].
То есть во второй полуинтервал из решения неравенства оно точно не попадает, а в первый попадает, если оно меньше 3, т.е.
3*sin(a)+5 < 3
sin(a) < -2/3
Итак, sin(a) может лежать в полуинтервале [-1;-2/3)

3. Осталось разобрать последнее условие - что 9cos2a-36sina-18 тоже является решением неравенства.
cos(2a) = 1-2sin^2(a) => выражение превращается в
9(1-2sin^2(a))-36sin(a)-18 = -18sin^2(a)-36sin(a)-9

заменим sin(a) на t и посмотрим, как ведёт себя функция y(t)=-18t^2-36t-9
на уже найденном полуинтервале [-1;-2/3).
y'(t) = -36t-36
единственный экстремум - в точке -1, и это максимум. Следовательно, функция на рассматриваемом полуинтервале всюду убывает.
y(-1) = 9
y(-2/3) = 7

Это значит, что наше второе выражение является решением неравенства только в том случае, если оно равно 9, т.е. когда sin(a) = -1

Так что ответ -
a = -пи/2 + 2пи*n


Задание C5

Условие:

Найти все значения параметра a, при которых функция
f(x) = x^2 - |x-a^2| - 9x
имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение:

Раскроем модуль:

При x <= a^2: f(x) = x^2 - 8x - a^2,
при x > a^2: f(x) = x^2 - 10x + a^2.

Производная левой части: f'(x) = 2x - 8
Производная правой части: f'(x) = 2x - 10

И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a^2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая — убывает (то есть 2x-10 < 0).

То есть, получаем систему:
2x-8 > 0
2x-10 < 0
x = a^2

откуда
4 < a^2 < 5