ЕГЭ портал

ЕГЭ по математике №16 C4



ЕГЭ по математике №16 C4 с решением и ответами




ЕГЭ по математике №16 C4 с решением и ответами

ЕГЭ по математике №16 C4 решение.


ЕГЭ по математике №16 C4.

Хорда окружности, описанной вокруг треугольника

Условие:

Радиус окружности, описанной около ∆ АВС, равен 13, Cos ВАС = - 5/13. Высота, проведённая к стороне ВС, равна 5. Найдите длину той хорды АМ описанной окружности, которая делится пополам стороной ВС.

Решение:



1. Во-первых, найдем BC. Как известно, угол, вписанный в окружность, опирается на вдвое большую дугу. Обозначим угол BAC за "альфа" (его косинус мы знаем). Тогда дуга BC (большая) равна 2альфа, а угол BOC, соответственно, 2пи-2альфа.

Хорда BC = 2R*sin(BOC/2) = 2*R*sin(пи-альфа) = 2*R*sin(альфа) = 2*R*sqrt(1-(5/13)^2) = 2*13*12/13 = 24.

2. Из прямоугольного треугольника BKO находим KO = sqrt(13^2-12^2) = 5

3. Теперь нам пора заметить, что у нас опять два случая. Как обычно, обозначим их красным и синим. Рассмотрим красный, а синий получится сам собой.

4. Из точки D отложим отрезок DP, параллельный и равный AT=5. KO=DP, оба они перпендикулярны BC...
В общем, я веду к тому, что точки M, O и P лежат на диаметре, параллельном BC, а треугольники ADT и DMP равны.

5. Рассмотрим прямоугольные треугольники ODM и Atd. Углы ADT и OMD равны, а значит, эти треугольники подобны (по двум углам).
Можем составить пропорцию:

OM/DM = AD/td. Кстати, обозначим DM за x (То есть, в окончательном ответе нам нужно будет указать 2x).
Итак, 13/x = x/td.

В свою очередь, td найдем из треугольника Atd:
td = sqrt(x^2-25)

Итак, вот и получилось уравнение:
13/x = x/sqrt(x^2-25)
Оно сводится к биквадратному
x^4-169*x^2+4225 = 0

У него есть два положительных корня:
x1 = sqrt(13/2*(13+sqrt(69))) (это для "красного" случая)
x2 = sqrt(13/2*(13-sqrt(69))) (это для "синего" случая)

Надо ещё умножить на два.

Ответ:

2*sqrt(13/2*(13+sqrt(69))), 2*sqrt(13/2*(13-sqrt(69)))




ЕГЭ по математике №16 C4.

Условие:

Трапеция ABCD
Площадь её = 90
AD=2BC
P - середина AD
Диагонали пересекаются в точке О и также пересекают отрезки PB и PC в точках М и N.
Найти площадь OMNP


Решение:

ABCP и PBCD - параллелограммы с одинаковыми основаниями и высотами, точки M и N - точки пересечения их диагоналей.
Это значит, что MN параллельно BC. Это вроде бы очевидно, но тем не менее.
И из этих же соображений мы в два счета доказываем, что MN = BC/2

Четырехугольник OMNP состоит из треугольников OMN и PMN с общим основанием MN. Значит, его площадь равна сумме их площадей и равна MN, помноженной на сумму высот этих треугольников пополам.
А сумма их высот - это расстояние от точки O до AD.

Вот и найдем это расстояние. Мы знаем, что треугольники AOD и COB подобны (по трем углам), а BC и AD относятся как 1:2. Значит, и высоты этих треугольников относятся как 1:2, и получается, что расстояние от O до AD равно 2/3 высоты трапеции.

То есть, если известная нам площадь трапеции равна
S = h*(AD+BC)/2 = 3/2*h*BC,
то искомая площадь четырехугольника равна

(2/3*h)*(BC/2)/2 = h*BC/6 = S/9 = 10

Ответ: 10



ЕГЭ по математике №16 C4

Дан угол ABC, равный 30о. На его стороне BA взята точка Dтакая, что AD=2 и BD=1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A, D




Решение:

Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой P середину AD, буквой Q - основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E - точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра. Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.

ЕГЭ по математике

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP=2 и углом B=30o находим, что 

  

Так как OA=R и AP=1, получим:

и, следовательно, 

 

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=60o, находим:

 

Таким образом, получаем следующее уравнение для R:

 

Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.

 

Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.



Ответ. 1 или 7.






ЕГЭ по математике №16 C4.




Часть 2 ЕГЭ по математике:      №13/ C1     №14/ C2     №15/ C3     №16/ C4     №18/ C5     №19/ C6

Ещё задания части 2:     №13/ C1     №14/ C2     №15/ C3      №16/ C4     №18/ C5     №19/ C6


ЕГЭ по математике

Базовый уровень по математике
Профильный уровень по математике
Базовый уровень ЕГЭ (формат PDF)
Профильный уровень ЕГЭ (формат PDF)

Тренировочная работа по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19





ЕГЭ по математике №16 C4 с решением и ответами

ЕГЭ, ОГЭ по математике, физике, информатике, химии, биологии с решением и ответами. Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике, физике, информатике, химии, биологии.
Варианты ЕГЭ, ОГЭ, демо-версии. Реальные варианты олимпиад для 1 - 11 классов с подробным решением задач и ответами. Тесты. Рефераты.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^