Школьный портал

С6 ЕГЭ по математике



С6   ЕГЭ   ПО   МАТЕМАТИКЕ    РЕШЕНИЕ




С 6   ЕГЭ   по   математике.

С6 ЕГЭ по математике решение.


С 6   ЕГЭ   по   математике

Условие:

Найдите все натуральные числа, не представимые в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение:

Каждое натуральное число может быть либо четным (2*k), либо нечетным (2*k+1).

1. Если число нечетное:
n = 2*k+1 = (k)+(k+1). Числа k и k+1 всегда взаимно простые

(если есть некоторое число d, являющееся делителем x и y, то число |x-y| тоже должно делиться на d. (k+1)-(k) = 1, то есть 1 должно делиться на d, то есть d=1, а это и есть доказательство взаимной простоты)

То есть мы доказали, что все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Исключением по условию будут являться числа 1 и 3, поскольку 1 вообще нельзя представить в виде суммы натуральных, а 3 = 2+1 и никак иначе, а единица в качестве слагаемого не подходит по условию.

2. Если число четное:
n = 2*k
Тут придется рассмотреть два случая:

2.1. k - четное, т.е. представимое в виде k = 2*m.
Тогда n = 4*m = (2*m+1)+(2*m-1).
Числа (2*m+1) и (2*m-1) могут иметь общий делитель только такой (см. выше), на который делится число (2*m+1)-(2*m-1) = 2. 2 делится на 1 и 2.
Но если делитель равен 2, то получается, что нечетное число 2*m+1 должно делиться на 2. Этого не может быть, поэтому остается только 1.

Так мы доказали, что все числа вида 4*m (то есть кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключение - число 4 (m=1), которое хотя и может быть представлено в виде 1+3, но единица в качестве слагаемого нам по-прежнему не подходит.

2.1. k - нечетное, т.е. представимое в виде k = 2*m-1.
Тогда n = 2*(2*m-1) = 4*m-2 = (2*m-3)+(2*m+1)
Числа (2*m-3) и (2*m+1) могут иметь общий делитель, на который делится число 4. То есть либо 1, либо 2, либо 4. Но ни 2, ни 4 не годятся, поскольку (2*m+1) - число нечетное, и ни на 2, ни на 4 делиться не может.

Так мы доказали, что все числа вида 4*m-2 (то есть все кратные 2, но не кратные 4) тоже могут быть представлены в виде суммы двух взаимно простых.
Тут исключения - числа 2 (m=1) и 6 (m=2), у которых одно из слагаемых в разложении на пару взаимно простых равно единице.

Ответ:

1,2,3,4,6


С 6   ЕГЭ   по   математике

Условие:

Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел n, таких, что первая и последняя цифры числа n^2 равны 1

Решение:

Последняя цифра квадрата - 1, значит последняя цифра самого числа - 9 либо 1.

100<=n<=999
10000<=n^2<999999

Если n^2 пятизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
10000<=n^2<=19999
100<=n<=141 => 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141

Если n^2 шестизначное, то, учитывая, что первая цифра квадрата - 1,
100000<=n^2<=199999
316<n<448
319,441 и пары 32x, 33x, 34x, 35x, 36x, 37x, 38x, 39x, 40x, 41x, 42x, 43x, где x - 1,9. Сумма каждой пары даст 650, 670, ... , 870

Суммируем парами: 210+230+250+270+141=(по арифм. прогрессии)=141+960=1101
319+441+650+...+870=319+441+(650+870)/2*12=9120+319+441=9120+760=9880

Итого: 9880+1101=10981

Ответ:

10981





С 6   ЕГЭ   по   математике


Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число).


Решение.

Здесь невозможно ограничиться одним простым делителем кратности k = 15 — 1 (см. вар. 10), поскольку по условию должны быть, по меньшей мере, два простых делителя — 2 и 5.
Если ограничиться выбором только этих двух делителей, их кратности в искомых числах дает формула
p = (m + 1)(n + 1), где p — количество делителей числа, равное 15,
m
и
n — кратности простых делителей. (m + 1)(n + 1) = 15; m = 2, n = 4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям).
Существуют два числа, удовлетворяющие условию:
N1 = 22×
54 = 2500;
N2 = 24×52 = 400.


Ответ.       2500 и 400.




С 6   ЕГЭ   по   математике


Решите уравнение 3m + 4n = 5k в натуральных числах.


Решение.

Левая часть уравнения при любых натуральных m и n при делении на 3 даёт остаток 1, следовательно, такой же остаток при делении на 3 должен быть и у 5k,
откуда следует, что
k чётное. Пусть k = 2r, r — натуральное число.

Правая часть уравнения при любом натуральном k при делении на 4 даёт остаток 1, следовательно, такой же остаток при делении на 4 должен быть и у 3m,
откуда следует, что
m чётное. Пусть m = 2s, s — натуральное число.

Перепишем исходное уравнение в виде
32
s + 4n = 52r
, или в виде
22n = (5
r – 3s)(5r + 3s).

Тогда
5
r – 3s = 2q и 5r + 3s = 2l, где q и l — целые неотрицательные числа и q + l = 2n.

Таким образом,

5r = (2q + 2l):2, 3s = (2l – 2q):2 = 2l – 1 – 2q – 1.

Число 3s — нечётное, значит, 2l – 1 – 2q – 1 нечётно, поэтому q = 1 и 3s = 2l – 1 – 1. Следовательно, число l – 1 чётно, l – 1 = 2p (иначе левая часть не делится на 3).
Тогда 3
s = (2p – 1)(2p + 1) — произведение двух множителей, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки.

Ясно, что эти множители 1 и 3, тогда p = 1,
s = 1, m = 2s = 2.
Далее последовательно получаем: l = 2p + 1 = 3, 5r = (2q + 2l):2 = 5, r = 1, k = 2r =2, q + l = 2n = 4. Итак, m = n = k = 2.



Ответ.       m = 2, n = 2, k = 2.




Часть С ЕГЭ по математике:      С1     С2     С3     С4     С5     С6

Ещё задания части С:     С1     С2     С3      С4     С5     С6


    ЕГЭ 2017 по математике:

   Базовый и профильный уровень
   ЕГЭ по математике в формате pdf:

Математика базовый уровень
Математика профильный уровень

   Базовый и профильный уровень
   ЕГЭ по математике на сайте:

Базовый уровень по математике
Профильный уровень по математике

Примеры решения заданий части В и С
егэ по математике прошлых лет:

Часть В:     Задания     Решения
Задачи с решением части с:
     С1     С2     С3     С4     С5     С6







С1 ЕГЭ математике. Задание с1 с решением ЕГЭ по математике

ЕГЭ, ГИА по математике, физике, информатике, химии, биологии с решением и ответами. Подготовка к ЕГЭ и ГИА по математике, физике, информатике, химии, биологии.
Варианты ЕГЭ, гиа, демо-версии. Реальные варианты олимпиад для 1 - 11 классов с подробным решением задач и ответами. Тесты. Рефераты.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^