ЕГЭ портал

Варианты решений заданий C4 ЕГЭ по математике



Варианты решений заданий C4 ЕГЭ по математике




Варианты решений заданий C4 ЕГЭ по математике

Решение заданий С4 по математике

Задание С4:    Условие

В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3. Параллельно хорде, соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности, в результате чего получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:


Нас интересует площадь трапеции ABCD, Её высота равна 2R=6. Осталось только найти полусумму оснований (AB+CD)/2.


Из прямоугольного треугольника olH найдем OH:
OH = ol/sin(OHL).
Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".

По формуле косинуса двойного угла:
cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), откуда
sin(a) = sqrt((1-cos(2a))/2)
sin(a) = sqrt((1+1/9)/2) = sqrt(5)/3

Чтобы потом к этому не возвращаться,
cos(a) = sqrt(1-5/9) = 2/3
tg(a) = sqrt(5)/3/2*3 = sqrt(5)/2.

Итак, OH = ol/sin(a) = 9/sqrt(5)
Отсюда:
pH = 9/sqrt(3) - 3
QH = 9/sqrt(3) +3

AB = 2*pH*tg(a)
CD = 2*QH*tg(a)

(AB+CD)/2 = 2*9/sqrt(5)*sqrt(5)/2 = 9

S(ABCD) = 9*6 = 54

Ответ:      54




Задание С4:    Окружность проходит через вершину прямого угла



Условие:

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояние 14 и 48. Найти радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Решение:

Во-первых, заметим, что, как и обычно бывает в C4, тут может быть два случая - вторая окружность может касаться первой как изнутри (синие линии на рисунке), так и снаружи (красная линия).



Итак, AC = 14, BC = 48, угол C - прямой. Значит, AB является диаметром первой окружности, и он равен sqrt(14^2+48^2) = 50.
Точка O, являясь центром окружности, делит AB пополам. Значит, перпендикуляры, опущенные из неё к отрезкам AC и BC, тоже делят их пополам.

Пусть O1 - центр второй окружности, а R - её радиус. Рассмотрим прямоугольный треугольник OKO1 с гипотенузой OO1 и катетами, параллельными лучам угла.

В "синем" случае:
OK = 24-R
O1K = R-7
OO1 = 25-R

Пишем теорему Пифагора:
(24-R)^2 + (R-7)^2 = (25-R)^2
Решаем, получаем два корня - 0 и 12. Нулевой случай нас не сильно интересует.

В "красном" случае всё то же самое, только OK=R-24 и, что самое важное, OO1=25+R.
И там, решая такое же уравнение, получим второй корень 112.


Ответ:      12, 112




Часть 2 ЕГЭ по математике:      №13/ C1     №14/ C2     №15/ C3     №16/ C4     №18/ C5     №19/ C6

Ещё задания части 2:     №13/ C1     №14/ C2     №15/ C3      №16/ C4     №18/ C5     №19/ C6


Математика ЕГЭ

Базовый уровень по математике
Профильный уровень по математике
Базовый уровень ЕГЭ (формат PDF)
Профильный уровень ЕГЭ (формат PDF)

Тренировочная работа по математике
Пробные работы ЕГЭ по математике

Базовый уровень (с ответами)

Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Профильный уровень (с ответами)
Тренировочная работа по математике 1
Тренировочная работа по математике 2
Тренировочная работа по математике 3
Пробная работа по математике 4
Пробная работа по математике 5

Примеры заданий и их решения.
Примеры заданий профильный уровень
Решения заданий профильного уровня
Профильный уровень - задание №13
Профильный уровень - задание №14
Профильный уровень - задание №15
Профильный уровень - задание №16
Профильный уровень - задание №18
Профильный уровень - задание №19




Варианты решений заданий C4 ЕГЭ по математике

ЕГЭ, ОГЭ по математике, физике, информатике, химии, биологии с решением и ответами. Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике, физике, информатике, химии, биологии.
Варианты ЕГЭ, ОГЭ, демо-версии. Реальные варианты олимпиад для 1 - 11 классов с подробным решением задач и ответами. Тесты. Рефераты.

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
^Наверх^